حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3} + 2 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 5.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 5.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

خطوة 5.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

خطوة 5.3.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

خطوة 5.3.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

خطوة 5.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

خطوة 5.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

خطوة 5.3.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

خطوة 6

وسّع $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $x^{\frac{3}{2}}$ و $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.7

أضف $3$ و $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.8

أعِد ترتيب $x^{\frac{5}{2}}$ و $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$