حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x} (6 + 10 x)$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{x} (6 + 10 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 10 x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 10 x) d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = 6 + 10 x$ و $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 + 10 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 10 d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 10 d x$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 10 d x$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $10$ .

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 10}{3} d x$

خطوة 5.4

اضرب $10$ في $2$ .

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{20}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{20}{3}$ خارج التكامل.

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{20}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ بالصيغة $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ في $\frac{20}{3}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 20}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 8.2.3

اضرب $20$ في $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{40 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 8.2.4

اضرب $5$ في $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{40 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 8.2.5

أخرِج العامل $5$ من $40 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (8 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

خطوة 8.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (8 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

خطوة 8.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (8 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 8.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

خطوة 8.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

خطوة 8.2.8

اطرح $8 x^{\frac{5}{2}}$ من $20 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

خطوة 8.2.9

أخرِج العامل $3$ من $12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

خطوة 8.2.10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

خطوة 8.2.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

خطوة 8.2.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

خطوة 8.2.10.4

اقسِم $4 x^{\frac{5}{2}}$ على $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{x} (6 + 10 x)$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + C$