حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة $\tan (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 6

ارفع $\csc (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 7

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 8.2

بسّط كل حد.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 10

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 11

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

خطوة 12

اكتب $\tan (t)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

خطوة 13.2

اجمع.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

خطوة 13.3

احذِف العامل المشترك لـ ${\sin (t)}^{2}$ و $\sin (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

خطوة 13.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.1

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

خطوة 13.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

خطوة 13.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

خطوة 13.4

اضرب $\sin (t)$ في $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

خطوة 14

اضرب في $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

خطوة 15

أخرِج العامل $\cos (t)$ من $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

خطوة 16

افصِل الكسور.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

خطوة 17

حوّل من $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ إلى $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

خطوة 18

حوّل من $\frac{1}{\cos (t)}$ إلى $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 19

بما أن مشتق $\sec (t)$ هو $\tan (t) \sec (t)$ ، إذن تكامل $\tan (t) \sec (t)$ هو $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

خطوة 20

بسّط.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

خطوة 21

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

خطوة 22

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$