حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{2 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{2 - x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \sqrt{2} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sqrt{2} \cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.2

اضرب في $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل ${\sqrt{2}}^{2}$ من $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل ${\sqrt{2}}^{2}$ من ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.7

أعِد ترتيب $2$ و $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

خطوة 5.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

خطوة 5.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

خطوة 5.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

خطوة 5.2.5

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

خطوة 5.2.6

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

خطوة 5.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

خطوة 5.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

خطوة 5.2.9

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

خطوة 5.2.9.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

خطوة 5.2.9.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

خطوة 5.2.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

خطوة 5.2.9.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

خطوة 5.2.9.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

خطوة 5.2.10

انقُل $2$ إلى يسار $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 9.3

اضرب $\int 1 + \cos (2 t) d t$ في $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

خطوة 12

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 12.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 13

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

خطوة 15

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

خطوة 16

بسّط.

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

خطوة 17.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.3

اضرب $\frac{x}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

خطوة 18.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

خطوة 18.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

خطوة 18.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

خطوة 18.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

خطوة 18.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

خطوة 18.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

خطوة 18.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

خطوة 18.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

خطوة 18.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

خطوة 18.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$