حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 - \sqrt{1 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 1 - \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$x + C - \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$x + C - \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 8.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x + C - \int \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$x + C - \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

خطوة 8.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$x + C - \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

خطوة 8.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x + C - \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 8.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$x + C - \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 9

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x + C - \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C - \frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C - \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 13

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 13.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 14

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 15

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C - \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 16

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 17

بسّط.

$x - \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 18

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$x - \frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 18.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$x - \frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 18.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$x - \frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$x - \frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

خطوة 19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x - \frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

خطوة 19.3

اجمع $\arcsin (x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x - \frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

خطوة 19.4

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.1

اضرب $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x - \frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 19.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x - \frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

خطوة 20

أعِد ترتيب الحدود.

$x - \frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

خطوة 21

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$