حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ بالصيغة $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.4.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

خطوة 4.3.1.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

خطوة 4.3.1.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

خطوة 4.3.1.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

خطوة 4.3.1.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

أضف $\frac{1}{x}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 9.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 9.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

خطوة 11

بسّط.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$