حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan^{-1} (π x)$

خطوة 1

اكتب $\tan^{-1} (π x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \tan^{-1} (π x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \tan^{-1} (π x) d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \tan^{-1} (π x)$ و $d v = 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int x \frac{π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

اجمع $x$ و $\frac{π}{π^{2} x^{2} + 1}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int \frac{x π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

خطوة 6

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $π$ خارج التكامل.

$\tan^{-1} (π x) x - (π \int \frac{x}{π^{2} x^{2} + 1} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = π^{2} x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 \cdot x π^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{2 π^{2}} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = π^{2} x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2} + 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $π^{2} x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

بما أن $π^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π^{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$π^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $π^{2}$ .

$2 π^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 π^{2} x + 0$

خطوة 7.1.4.2

أضف $2 π^{2} x$ و $0$ .

$2 π^{2} x$

خطوة 7.1.5

أعِد ترتيب $2 π^{2}$ و $x$ .

$x (2 π^{2})$

خطوة 7.1.6

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$2 \cdot x π^{2}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2 π^{2}} d u$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2 π^{2}}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u (2 π^{2})} d u$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{2 u π^{2}} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2 π^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2 π^{2}}$ خارج التكامل.

$\tan^{-1} (π x) x - π (\frac{1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{2 π^{2}}$ و $π$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10.2

احذِف العامل المشترك لـ $π$ و $π^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب في $1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π^{2}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \tan^{-1} (π x)$ .

$F (x) =$ $\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$