حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{20}{6 + 2 t}$

خطوة 1

اكتب $\frac{20}{6 + 2 t}$ في صورة دالة.

$f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (t)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (t) = \int \frac{20}{6 + 2 t} d t$

خطوة 4

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $6 + 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $20$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{6 + 2 t} d t$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 t} d t$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 (t)} d t$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3) + 2 (t)$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

خطوة 4.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{10}{3 + t} d t$

خطوة 5

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$10 \int \frac{1}{3 + t} d t$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 3 + t$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 3 + t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $3 + t$ .

$\frac{d}{d t} [3 + t]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.1.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 6.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$10 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$10 \ln (| u |) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 + t$ .

$10 \ln (| 3 + t |) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$ .

$F (t) =$ $10 \ln (| 3 + t |) + C$