حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$

خطوة 1

اكتب $2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 d x + \int 5 \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$2 x + C + \int 5 \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

خطوة 6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$2 x + C + 5 \int \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = \frac{4 π x}{25}$ . إذن $d u = \frac{4 π}{25} d x$ ، لذا $\frac{25}{4 π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = \frac{4 π x}{25}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{4 π x}{25}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{25}]$

خطوة 7.1.2

بما أن $\frac{4 π}{25}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 π x}{25}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4 π}{25} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 π}{25} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 π}{25} \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $\frac{4 π}{25}$ في $1$ .

$\frac{4 π}{25}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 x + C + 5 \int \sin (u) \frac{1}{\frac{4 π}{25}} d u$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{4 π}{25}$ .

$2 x + C + 5 \int \sin (u) (1 \frac{25}{4 π}) d u$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{25}{4 π}$ في $1$ .

$2 x + C + 5 \int \sin (u) \frac{25}{4 π} d u$

خطوة 8.3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{25}{4 π}$ .

$2 x + C + 5 \int \frac{\sin (u) \cdot 25}{4 π} d u$

خطوة 8.4

انقُل $25$ إلى يسار $\sin (u)$ .

$2 x + C + 5 \int \frac{25 \sin (u)}{4 π} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{25}{4 π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{25}{4 π}$ خارج التكامل.

$2 x + C + 5 (\frac{25}{4 π} \int \sin (u) d u)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{25}{4 π}$ و $5$ .

$2 x + C + \frac{25 \cdot 5}{4 π} \int \sin (u) d u$

خطوة 10.2

اضرب $25$ في $5$ .

$2 x + C + \frac{125}{4 π} \int \sin (u) d u$

خطوة 11

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$2 x + C + \frac{125}{4 π} (- \cos (u) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$2 x - \frac{125 \cos (u)}{4 π} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{4 π x}{25}$ .

$2 x - \frac{125 \cos (\frac{4 π x}{25})}{4 π} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x - \frac{125}{4 π} \cos (\frac{4 π}{25} x) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$ .

$F (x) =$ $2 x - \frac{125}{4 π} \cos (\frac{4 π}{25} x) + C$