حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = - x + 9$ و $g (x) = 3 x - 3$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${(- x + 9)}^{2}$ بالصيغة $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.2

وسّع $(- x + 9) (- x + 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.5

اضرب $9$ في $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.6

اضرب $- 1$ في $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.1.7

اضرب $9$ في $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.3.2

اطرح $9 x$ من $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة ${(3 x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

خطوة 2.1.5

وسّع $(3 x - 3) (3 x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

خطوة 2.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

خطوة 2.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1.2.1

انقُل $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6.1.4

اضرب $- 3$ في $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6.1.5

اضرب $3$ في $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

خطوة 2.1.6.1.6

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

خطوة 2.1.6.2

اطرح $9 x$ من $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

خطوة 2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

خطوة 2.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

خطوة 2.1.8.2

اضرب $- 18$ في $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

خطوة 2.1.8.3

اضرب $- 1$ في $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أضف $- 18 x$ و $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

خطوة 2.2.1.2

أضف $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ و $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

خطوة 2.2.2

اطرح $9 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

خطوة 2.2.3

اطرح $9$ من $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

خطوة 4

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 8$ خارج التكامل.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $72 x$ في $3$ وفي $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.6

أضف $9$ و $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.7

اضرب $- 8$ في $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.8

اضرب $72$ في $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

خطوة 8.3.9

اضرب $- 72$ في $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

خطوة 8.3.10

أضف $216$ و $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

خطوة 8.3.11

أضف $- 72$ و $216$ .

$V = π \cdot 144$

خطوة 8.3.12

انقُل $144$ إلى يسار $π$ .

$V = 144 π$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = 144 π$

الصيغة العشرية:

$V = 452.38934211 \dots$

خطوة 10