حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x$ , $y = 4$ , $x = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 4$ و $g (x) = 4 x$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$V = 16 - {(4 x)}^{2}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$V = 16 - (4^{2} x^{2})$

خطوة 2.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$V = 16 - (16 x^{2})$

خطوة 2.4

اضرب $16$ في $- 1$ .

$V = 16 - 16 x^{2}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x^{2} d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x^{2} d x)$

خطوة 5

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 16$ خارج التكامل.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

خطوة 7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احسِب قيمة $16 x$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

خطوة 7.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $16$ في $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 16$ في $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.3

أضف $16$ و $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

خطوة 7.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

خطوة 7.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

خطوة 7.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

خطوة 7.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

خطوة 7.2.3.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - 0))$

خطوة 7.2.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} + 0))$

خطوة 7.2.3.8

أضف $\frac{1}{3}$ و $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3}))$

خطوة 7.2.3.9

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{3}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{3})$

خطوة 7.2.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (16 - \frac{16}{3})$

خطوة 7.2.3.11

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 7.2.3.12

اجمع $16$ و $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 7.2.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{16 \cdot 3 - 16}{3})$

خطوة 7.2.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.14.1

اضرب $16$ في $3$ .

$V = π (\frac{48 - 16}{3})$

خطوة 7.2.3.14.2

اطرح $16$ من $48$ .

$V = π (\frac{32}{3})$

خطوة 7.2.3.15

اجمع $π$ و $\frac{32}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{3}$

خطوة 7.2.3.16

انقُل $32$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{32 π}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{32 π}{3}$

الصيغة العشرية:

$V = 33.51032163 \dots$

خطوة 9