حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.4.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.5.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8^{t} - 5^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ هو $a^{t} \ln (a)$ حيث $a$ = $8$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 5^{t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - \frac{d}{d t} [5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ هو $a^{t} \ln (a)$ حيث $a$ = $5$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - (5^{t} \ln (5))}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3.4.3

احذِف الأقواس.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{1}$

خطوة 4

اقسِم $8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$ على $1$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

خطوة 6

انقُل الحد $\ln (8)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\ln (8) lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

خطوة 7

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

خطوة 8

انقُل الحد $\ln (5)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) lim_{t \to 0} 5^{t}$

خطوة 9

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 10

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

خطوة 11.1.2

اضرب $\ln (8)$ في $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

خطوة 11.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (8) - \ln (5)$

خطوة 11.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8}{5})$