حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

خطوة 1.2.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب $1$ و $- 2 x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 1}$

خطوة 1.3.2

النهاية عند اللانهاية لمتعدد حدود معامله الرئيسي سالب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.3.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

خطوة 3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 (2 x)}$

خطوة 3.8.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 x}$

خطوة 3.9

اطرح $4 x$ من $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 4 x}$

خطوة 4

انقُل الحد $\frac{1}{- 4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

خطوة 5

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

خطوة 6.1.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

خطوة 8.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $2 + 0$ على $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 + 0)$

خطوة 8.2.3

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 2$

خطوة 8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{4} \cdot 2$

خطوة 8.2.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

خطوة 8.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

خطوة 8.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2}$