حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2

بما أن الأُس $5 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.5

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.6

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.7

اضرب $5$ في $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

خطوة 4.1.2

بما أن الدالة $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $5$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $5$ المحذوف.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

بما أن الأُس $5 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

خطوة 4.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 e^{5 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.5

اضرب $5$ في $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.7

اضرب $25$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

خطوة 4.3.8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 4.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 (2 x)}$

خطوة 4.3.10

اضرب $2$ في $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 25 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

خطوة 5.1.2

بما أن الدالة $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $25$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $25$ المحذوف.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

خطوة 5.1.2.2

بما أن الأُس $5 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

خطوة 5.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.2

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $25 e^{5 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.5

اضرب $5$ في $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.7

اضرب $125$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 5.3.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \cdot 1}$

خطوة 5.3.10

اضرب $6$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6}$

خطوة 6

بما أن الدالة $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $\frac{125}{6}$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $\frac{125}{6}$ المحذوف.

$lim_{x \to \infty} e^{5 x}$

خطوة 6.2

بما أن الأُس $5 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{5 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$