حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.1.2

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.1.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.1.4

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.1.5

احسِب قيمة حد $\ln (4)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\ln (4 + 0) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{4 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4 + 0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2.2

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 (1)})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 \cdot 1})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.2.4.4

اقسِم $1 + 0$ على $1$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (4 + x) - \ln (4)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 4 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5

أضف $0$ و $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.6

اضرب $\frac{1}{4 + x}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.4

بما أن $- \ln (4)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \ln (4)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $\frac{1}{4 + x}$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{1}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4} \cdot 1$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{x + 4}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4}$

خطوة 5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

خطوة 5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{0 + 4}$

خطوة 7

أضف $0$ و $4$ .

$\frac{1}{4}$