حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{8}{x})$

خطوة 1

أعِد كتابة $x \sin (\frac{8}{x})$ بالصيغة $\frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{8}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{8}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2.1.2

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اضرب $8$ في $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{8}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{8}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{8}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{8}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{8}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) (8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) (8 (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) (- 8 x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) (- 8 \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \frac{- 8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.7.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) (- \frac{8}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.7.2.3

اجمع $\cos (\frac{8}{x})$ و $\frac{8}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.7.2.4

انقُل $8$ إلى يسار $\cos (\frac{8}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.8

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

خطوة 2.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

خطوة 2.3.10

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} - \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

خطوة 2.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 2.5.3

اجمع $\frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}$ و $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.6.2

اقسِم $8 \cos (\frac{8}{x})$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} 8 \cos (\frac{8}{x})$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$8 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{8}{x})$

خطوة 3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$8 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{8}{x})$

خطوة 3.3

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$8 \cos (8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

خطوة 4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$8 \cos (8 \cdot 0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $8$ في $0$ .

$8 \cos (0)$

خطوة 5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$8 \cdot 1$

خطوة 5.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8$