حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

خطوة 1.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $2^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

خطوة 4

احذِف العامل المشترك لـ $2^{x}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 5.1.2

بما أن الدالة $2^{x - 1}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $\ln (2)$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $\ln (2)$ المحذوف.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 5.1.2.2

بما أن الأُس $x - 1$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $2^{x - 1}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 5.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.2

بما أن $\ln (2)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2^{x - 1} \ln (2)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = 2^{x}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.4

ارفع $\ln (2)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.5

ارفع $\ln (2)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.7

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.11

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.12

اضرب $2^{x - 1}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

خطوة 5.4

اقسِم $2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

خطوة 6

بما أن الدالة $2^{x - 1}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $\ln^{2} (2)$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $\ln^{2} (2)$ المحذوف.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

خطوة 6.2

بما أن الأُس $x - 1$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $2^{x - 1}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$