حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{(9 x^{2} + 4)}{9 x^{2} - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 9 x^{2} + 4$ و $g (x) = 9 x^{2} - 4$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4] - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

انقُل $18$ إلى يسار $9 x^{2} - 4$ .

$\frac{18 \cdot (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.11

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.12.2

اضرب $18$ في $- 1$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(18 (9 x^{2}) + 18 \cdot - 4) x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x + (- 18 (9 x^{2}) - 18 \cdot 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{18 (9 (x \cdot x^{2})) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{18 (9 (x^{1} x^{2})) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{18 (9 x^{1 + 2}) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{18 (9 x^{3}) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

اضرب $9$ في $18$ .

$\frac{162 x^{3} + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

اضرب $18$ في $- 4$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 (x \cdot x^{2})) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 (x^{1} x^{2})) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{1 + 2}) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{3}) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.5

اضرب $9$ في $- 18$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.6

اضرب $- 18$ في $4$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 72 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.2.1

اطرح $162 x^{3}$ من $162 x^{3}$ .

$\frac{- 72 x + 0 - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2.2

أضف $- 72 x$ و $0$ .

$\frac{- 72 x - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.3

اطرح $72 x$ من $- 72 x$ .

$\frac{- 144 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{144 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$- \frac{144 x}{{({(3 x)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{144 x}{{({(3 x)}^{2} - 2^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 x$ و $b = 2$ .

$- \frac{144 x}{{((3 x + 2) (3 x - 2))}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.4

طبّق قاعدة الضرب على $(3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$144 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $144 x = 0$ على $144$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $144 x = 0$ على $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $144$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(3 x + 2)}^{2} = 0$

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

عيّن قيمة العبارة ${(3 x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

عيّن قيمة ${(3 x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(3 x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(3 x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

عيّن قيمة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 2 = 0$

خطوة 4.2.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 2$

خطوة 4.2.2.2.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 4.2.2.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 4.2.2.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

خطوة 4.2.2.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2}{3}$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(3 x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(3 x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(3 x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $3 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 2 = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 2$

خطوة 4.2.3.2.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

خطوة 4.2.3.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

خطوة 4.2.3.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

خطوة 4.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{2}{3}$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{2}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.6666667$ في العبارة.

$f' (- 1.6666667) = - \frac{144 (- 1.6666667)}{{(3 (- 1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $144$ في $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(3 (- 1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $3$ في $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 5.0000001 + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 5.0000001$ و $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $3$ في $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(- 5.0000001 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

اطرح $2$ من $- 5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(- 7.0000001)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

ارفع $- 3.0000001$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{9.0000006 {(- 7.0000001)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.6

ارفع $- 7.0000001$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{9.0000006 \cdot 49.0000014}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $9.0000006$ في $49.0000014$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{441.000042}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- 240.0000048$ على $441.000042$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.54421764$

خطوة 6.2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 0.54421764$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.54421764$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.54421764$ .

$0.54421764$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1.6666667$ هو $0.54421764$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{2}{3})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.6666667, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.\overline{3}$ في العبارة.

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{144 (- 0.\overline{3})}{{(3 (- 0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $144$ في $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{(3 (- 0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $3$ في $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{(- 1.00000005 + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 1.00000005$ و $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اضرب $3$ في $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(- 1.00000005 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

اطرح $2$ من $- 1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(- 3.00000005)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

ارفع $0.\overline{9}$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{0.9999999 {(- 3.00000005)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

ارفع $- 3.00000005$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{0.9999999 \cdot 9.0000003}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $0.9999999$ في $9.0000003$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{8.9999994}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $- 48.0000024$ على $8.9999994$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 5.33333395$

خطوة 7.2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 5.33333395$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 5.33333395$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $5.33333395$ .

$5.33333395$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 0.\overline{3}$ هو $5.33333395$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 0.6666667, 0)$ .

تزايد خلال $(- \frac{2}{3}, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{2}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.\overline{3}$ في العبارة.

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{144 (0.\overline{3})}{{(3 (0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $144$ في $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{(3 (0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $3$ في $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{(1.00000005 + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $1.00000005$ و $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اضرب $3$ في $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(1.00000005 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

اطرح $2$ من $1.00000005$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(- 0.\overline{9})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

ارفع $3.00000005$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{9.0000003 {(- 0.\overline{9})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.6

ارفع $- 0.\overline{9}$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{9.0000003 \cdot 0.9999999}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $9.0000003$ في $0.9999999$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{8.9999994}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $48.0000024$ على $8.9999994$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 1 \cdot 5.33333395$

خطوة 8.2.3.3

اضرب $- 1$ في $5.33333395$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 5.33333395$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 5.33333395$ .

$- 5.33333395$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 0.\overline{3}$ هو $- 5.33333395$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \frac{2}{3})$ .

تناقص خلال $(0, \frac{2}{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{2}{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.6666667$ في العبارة.

$f' (1.6666667) = - \frac{144 (1.6666667)}{{(3 (1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $144$ في $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{(3 (1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اضرب $3$ في $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{(5.0000001 + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $5.0000001$ و $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

اضرب $3$ في $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} {(5.0000001 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.4

اطرح $2$ من $5.0000001$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} \cdot {3.0000001}^{2}}$

خطوة 9.2.2.5

ارفع $7.0000001$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{49.0000014 \cdot {3.0000001}^{2}}$

خطوة 9.2.2.6

ارفع $3.0000001$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{49.0000014 \cdot 9.0000006}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اضرب $49.0000014$ في $9.0000006$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{441.000042}$

خطوة 9.2.3.2

اقسِم $240.0000048$ على $441.000042$ .

$f' (1.6666667) = - 1 \cdot 0.54421764$

خطوة 9.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0.54421764$ .

$f' (1.6666667) = - 0.54421764$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.54421764$ .

$- 0.54421764$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 1.6666667$ هو $- 0.54421764$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{2}{3}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (- \frac{2}{3}, 0)$

تناقص خلال: $(0, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \infty)$

خطوة 11