حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 4$ و $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 3 x$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x - 4) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 x$ .

$(x - 4) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} \cdot - 3 + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.3.3.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $(x - 4) e^{- 3 x}$ .

$- 3 \cdot ((x - 4) e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 1.1.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.3.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + 0)$

خطوة 1.1.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 1$

خطوة 1.1.3.7.2

اضرب $e^{- 3 x}$ في $1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 3 x - 3 \cdot - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

خطوة 1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x e^{- 3 x} - 3 \cdot - 4 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

خطوة 1.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 12 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

خطوة 1.1.4.3.2

أضف $12 e^{- 3 x}$ و $e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

خطوة 1.1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$

خطوة 1.1.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $e^{- 3 x}$ من $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $e^{- 3 x}$ من $- 3 x e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + 13 e^{- 3 x} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $e^{- 3 x}$ من $13 e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $e^{- 3 x}$ من $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 13 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- 3 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{- 3 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- 3 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- 3 x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $- 3 x + 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $- 3 x + 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x + 13 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 3 x + 13 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $13$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x = - 13$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- 3 x = - 13$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 x = - 13$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 3}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{13}{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{13}{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$ هو $(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{13}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{10}{3}$ في العبارة.

$f' (\frac{10}{3}) = - 3 (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (- 1) (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{10}{3}) = - 1 \cdot 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 1 \cdot 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot \frac{1}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.6

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.8.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})}$

خطوة 5.2.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))}$

خطوة 5.2.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 1 \cdot 10}$

خطوة 5.2.1.9

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 10}$

خطوة 5.2.1.10

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 (\frac{1}{e^{10}})$

خطوة 5.2.1.11

اجمع $13$ و $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + \frac{13}{e^{10}}$

خطوة 5.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10 + 13}{e^{10}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 10$ و $13$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{3}{e^{10}}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{e^{10}}$ .

$\frac{3}{e^{10}}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = \frac{10}{3}$ هو $\frac{3}{e^{10}}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, \frac{13}{3})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{13}{3})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{13}{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{16}{3}$ في العبارة.

$f' (\frac{16}{3}) = - 3 (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = 3 (- 1) (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{16}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{16}{3}) = - 1 \cdot 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 1 \cdot 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot \frac{1}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.6

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.8.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})}$

خطوة 6.2.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))}$

خطوة 6.2.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 1 \cdot 16}$

خطوة 6.2.1.9

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 16}$

خطوة 6.2.1.10

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 (\frac{1}{e^{16}})$

خطوة 6.2.1.11

اجمع $13$ و $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + \frac{13}{e^{16}}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16 + 13}{e^{16}}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أضف $- 16$ و $13$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 3}{e^{16}}$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{3}{e^{16}}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{e^{16}}$ .

$- \frac{3}{e^{16}}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{16}{3}$ هو $- \frac{3}{e^{16}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{13}{3}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{13}{3}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, \frac{13}{3})$

تناقص خلال: $(\frac{13}{3}, \infty)$

خطوة 8