حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{4}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.2

اجمع $\frac{4}{3}$ و $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.1.2.1.2

اقسِم $\sin (\frac{4 x}{3})$ على $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

خطوة 2.3.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

خطوة 2.3.4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x = 0$

خطوة 2.3.5

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.6

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

خطوة 2.3.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

خطوة 2.3.7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1.1

بسّط $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

خطوة 2.3.7.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

خطوة 2.3.7.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

خطوة 2.3.7.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

خطوة 2.3.7.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

خطوة 2.3.7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

بسّط $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

خطوة 2.3.7.2.2.1.2

اجمع $\frac{3}{4}$ و $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.3.8

أوجِد فترة $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.3.8.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{4}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

خطوة 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ تساوي تقريبًا $1.\overline{3}$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

خطوة 2.3.8.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{3}{4}$

خطوة 2.3.8.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

خطوة 2.3.8.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

خطوة 2.3.8.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.8.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$π \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.8.6

اجمع $π$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

خطوة 2.3.8.7

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 2.3.9

فترة دالة $\sin (\frac{4 x}{3})$ هي $\frac{3 π}{2}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{3 π}{2}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π n}{4}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ هو $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π n}{4} - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

خطوة 5.2.1.2

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

خطوة 5.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

خطوة 5.2.2

اجمع $4$ و $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

خطوة 5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

خطوة 5.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $3 π n - 4$ على $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ هو $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π n}{4} + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

خطوة 6.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

خطوة 6.2.2

اجمع $4$ و $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

خطوة 6.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $3 π n + 4$ على $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ هو $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

خطوة 8