حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ في صورة ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 20 - x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.7.3

انقُل ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

خطوة 1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 - x - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 1.1.9

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $20$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 1.1.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 1.1.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 1.1.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 1.1.13

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 1.1.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

خطوة 1.1.16

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

خطوة 1.1.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.17.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ .

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17.2

اضرب $- 1 - 2 x$ في $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (2 x)$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 + 2 x = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 2.3.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

خطوة 4.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ في صورة ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.4

بسّط.

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.6.1

اضرب $4$ في $20$ .

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.6.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.6.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من $80 - 4 x - 4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1.1.1

انقُل $80$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

خطوة 4.3.3.1.1.1.2

أعِد ترتيب $- 4 x$ و $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

خطوة 4.3.3.1.1.2

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

خطوة 4.3.3.1.1.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

خطوة 4.3.3.1.1.4

أخرِج العامل $- 4$ من $80$ .

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

خطوة 4.3.3.1.1.5

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ .

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

خطوة 4.3.3.1.1.6

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ .

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

خطوة 4.3.3.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.2.1

حلّل $x^{2} + x - 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 20$ ومجموعهما $1$ .

$- 4, 5$

خطوة 4.3.3.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

خطوة 4.3.3.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

خطوة 4.3.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

خطوة 4.3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 4.3.3.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 4.3.3.4

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 4.3.3.4.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 4.3.3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 5$

خطوة 4.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$20 - x - x^{2} < 0$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$20 - x - x^{2} = 0$

خطوة 4.5.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $20 - x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1.1

انقُل $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

خطوة 4.5.2.1.1.2

أعِد ترتيب $- x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

خطوة 4.5.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

خطوة 4.5.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

خطوة 4.5.2.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

خطوة 4.5.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

خطوة 4.5.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

خطوة 4.5.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

حلّل $x^{2} + x - 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.1

$- 4, 5$

خطوة 4.5.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

خطوة 4.5.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

خطوة 4.5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

خطوة 4.5.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 4.5.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 4.5.5

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.5.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 4.5.5.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 4.5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 4) (x + 5) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 5$

خطوة 4.5.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 4.5.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.8.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 8$

خطوة 4.5.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 8$ في المتباينة الأصلية.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

خطوة 4.5.8.1.3

الطرف الأيسر $- 36$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 4.5.8.2

اختبر قيمة في الفترة $- 5 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.8.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 5 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 4.5.8.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

خطوة 4.5.8.2.3

الطرف الأيسر $20$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 4.5.8.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.8.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 4.5.8.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

خطوة 4.5.8.3.3

الطرف الأيسر $- 22$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 4.5.8.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 5$ صحيحة

$- 5 < x < 4$ خطأ

$x > 4$ صحيحة

$x < - 5$ صحيحة

$- 5 < x < 4$ خطأ

$x > 4$ صحيحة

خطوة 4.5.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 5$ أو $x > 4$

خطوة 4.6

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $2$ في $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $12$ من $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2.1.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $20$ و $6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2.3

اطرح $36$ من $26$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 6$ هو $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 5)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 5)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 5, - \frac{1}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.75$ في العبارة.

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $2$ في $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $5.5$ من $1$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.1.2

ارفع $- 2.75$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $7.5625$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $20$ و $2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.3

اطرح $7.5625$ من $22.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.4

أعِد كتابة $15.1875$ بالصيغة ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.5

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 7.2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 7.2.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

خطوة 7.2.2.7

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $2$ في $3.89711431$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $- 4.5$ على $7.79422863$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

خطوة 7.2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 0.57735026$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $0.57735026$ .

$0.57735026$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 2.75$ هو $0.57735026$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 5, - \frac{1}{2})$ .

تزايد خلال $(- 5, - \frac{1}{2})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.5, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.75$ في العبارة.

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $2$ في $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

أضف $1$ و $3.5$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.1.2

ارفع $1.75$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $3.0625$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $1.75$ من $20$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.3

اطرح $3.0625$ من $18.25$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.4

أعِد كتابة $15.1875$ بالصيغة ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.5

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 8.2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 8.2.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

خطوة 8.2.2.7

احسِب قيمة الأُس.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $2$ في $3.89711431$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $4.5$ على $7.79422863$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

خطوة 8.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0.57735026$ .

$f' (1.75) = - 0.57735026$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1.75$ هو $- 0.57735026$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 0.5, 4)$ .

تناقص خلال $(- \frac{1}{2}, 4)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.1.2

أضف $1$ و $10$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $25$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $5$ من $20$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.2.3

اطرح $25$ من $15$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 5$ هو $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(4, \infty)$ .

تناقص خلال $(4, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 5, - \frac{1}{2})$

تناقص خلال: $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

خطوة 11