حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 3 x^{2} + 54 \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} + 54 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $54$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $54 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 6 x + 54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$- 6 x + 54 \frac{1}{x}$

خطوة 1.1.3.3

اجمع $54$ و $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = - 6 x + \frac{54}{x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 6 x + \frac{54}{x}$ .

$- 6 x + \frac{54}{x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 6 x + \frac{54}{x} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x, 1$

خطوة 2.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 2.3

اضرب كل حد في $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل حد في $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ في $x$ .

$- 6 x \cdot x + \frac{54}{x} x = 0 x$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

انقُل $x$ .

$- 6 (x \cdot x) + \frac{54}{x} x = 0 x$

خطوة 2.3.2.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 x^{2} + 54 = 0 x$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $0$ في $x$ .

$- 6 x^{2} + 54 = 0$

خطوة 2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $54$ من كلا المتعادلين.

$- 6 x^{2} = - 54$

خطوة 2.4.2

اقسِم كل حد في $- 6 x^{2} = - 54$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اقسِم كل حد في $- 6 x^{2} = - 54$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 54}{- 6}$

خطوة 2.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

اقسِم $- 54$ على $- 6$ .

$x^{2} = 9$

خطوة 2.4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{9}$

خطوة 2.4.4

بسّط $\pm \sqrt{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

خطوة 2.4.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 3$

خطوة 2.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 3$

خطوة 2.4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 3$

خطوة 2.4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3, - 3$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $3, - 3$ .

$3, - 3$

خطوة 4

عيّن قيمة القاسم في $\frac{54}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 6

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (- \frac{3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{- 3}{2})) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3 \cdot - 3 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (- \frac{2}{3})$

خطوة 7.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (\frac{- 2}{3})$

خطوة 7.2.1.4.2

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 (18) (\frac{- 2}{3})$

خطوة 7.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 \cdot (18 (\frac{- 2}{3}))$

خطوة 7.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 18 \cdot - 2$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $18$ في $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 - 36$

خطوة 7.2.2

اطرح $36$ من $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 27$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 27$ .

$- 27$

خطوة 8

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, 3)$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - 6 (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

خطوة 9.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

خطوة 9.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 3 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $- 3$ في $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

خطوة 9.2.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 54 (\frac{2}{3})$

خطوة 9.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 (18) (\frac{2}{3})$

خطوة 9.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 \cdot (18 (\frac{2}{3}))$

خطوة 9.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 18 \cdot 2$

خطوة 9.2.1.5

اضرب $18$ في $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 36$

خطوة 9.2.2

أضف $- 9$ و $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $27$ .

$27$

خطوة 9.3

المشتق في $x = \frac{3}{2}$ هو $27$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 3)$ .

تزايد خلال $(0, 3)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, 3), (3, \infty)$

خطوة 11

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = - 6 \cdot 4 + \frac{54}{4}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 6$ في $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{54}{4}$

خطوة 11.2.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $54$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{2 (27)}{4}$

خطوة 11.2.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (4) = - 24 + \frac{27}{2}$

خطوة 11.2.2

لكتابة $- 24$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = - 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

خطوة 11.2.3

اجمع $- 24$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2 + 27}{2}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $- 24$ في $2$ .

$f' (4) = \frac{- 48 + 27}{2}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $- 48$ و $27$ .

$f' (4) = \frac{- 21}{2}$

خطوة 11.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (4) = - \frac{21}{2}$

خطوة 11.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{21}{2}$ .

$- \frac{21}{2}$

خطوة 11.3

المشتق في $x = 4$ هو $- \frac{21}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(3, \infty)$ .

تناقص خلال $(3, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 12

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 3)$

تناقص خلال: $(3, \infty)$

خطوة 13