حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln^{3} (x)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \ln^{3} (y)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln^{3} (y) = x$ .

$\ln^{3} (y) = x$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$\ln^{3} (y) = x$

خطوة 2.2.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

خطوة 2.2.2.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

خطوة 2.2.2.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ هي معكوس $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

خطوة 4.2.3

احذِف الأقواس.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

خطوة 4.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

خطوة 4.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

خطوة 4.3.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\sqrt[3]{x}$ خارج الأُس.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

خطوة 4.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

خطوة 4.3.5

اضرب $\sqrt[3]{x}$ في $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

خطوة 4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

خطوة 4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

خطوة 4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

خطوة 4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

خطوة 4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

خطوة 4.3.6.5

بسّط.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ هي معكوس $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$