حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

خطوة 1

اكتب $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ في صورة دالة.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

خطوة 2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

خطوة 2.2

اطرح $\frac{4}{x}$ من كلا المتعادلين.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

خطوة 2.3

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

خطوة 2.4

أضف $\frac{9}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

خطوة 2.5

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

خطوة 3

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.2

اضرب $f$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.4.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.5.2

بما أن $\frac{9}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{9}{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 3.5.3

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

خطوة 3.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

خطوة 3.6.2.2

أضف $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ و $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

خطوة 3.6.2.3

أضف $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ و $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

خطوة 3.6.2.4

أضف $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ و $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

خطوة 3.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

خطوة 4

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.2.10

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $f x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.3.2

اضرب $\frac{1}{x} (f y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اجمع $f$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.3.3.2.2

اجمع $\frac{f}{x}$ و $y$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

خطوة 4.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

خطوة 4.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

خطوة 4.5.2.3

أضف $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

خطوة 5

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

خطوة 6

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 8