حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{5} e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x}) + 5 (e^{x} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $4$ في $5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 x^{4} e^{x} + 20 (e^{x} (x^{3}))$

خطوة 2.4.2.2

أضف $e^{x} (5 x^{4})$ و $5 x^{4} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 20 e^{x} x^{3}$

خطوة 2.4.2.2.2

أضف $5 x^{4} e^{x}$ و $5 x^{4} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 e^{x} x^{3}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{5} + 10 e^{x} x^{4} + 20 e^{x} x^{3}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{5} + 10 e^{x} x^{4} + 20 e^{x} x^{3}$ .

$f'' (x) = x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{4} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.3.2

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x}) + 10 (e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x}) + 10 (e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $4$ في $10$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 x^{4} e^{x} + 40 (e^{x} (x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.3.2

أضف $e^{x} (5 x^{4})$ و $10 x^{4} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.3.2.2

أضف $5 x^{4} e^{x}$ و $10 x^{4} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.3.3

اضرب $3$ في $20$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 x^{3} e^{x} + 60 (e^{x} (x^{2}))$

خطوة 3.5.3.4

أضف $40 e^{x} x^{3}$ و $20 x^{3} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.4.1

انقُل $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 x^{3} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} + 60 e^{x} x^{2}$

خطوة 3.5.3.4.2

أضف $40 x^{3} e^{x}$ و $20 x^{3} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 60 x^{3} e^{x} + 60 e^{x} x^{2}$

خطوة 3.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{5} + 15 e^{x} x^{4} + 60 e^{x} x^{3} + 60 e^{x} x^{2}$

خطوة 3.5.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{5} + 15 e^{x} x^{4} + 60 e^{x} x^{3} + 60 e^{x} x^{2}$ .

$f''' (x) = x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 60 x^{3} e^{x} + 60 x^{2} e^{x}$