حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x^{2} + 3 x + 15)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3 x + 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

خطوة 1.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])$

خطوة 1.2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])$

خطوة 1.2.6

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + 0)$

خطوة 1.2.7

أضف $2 x + 3$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2 x + 3$ في $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 15}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x + 3$ و $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3 x + 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.11

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.12

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2.13

أضف $2 x + 3$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.3

ارفع $2 x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.4

ارفع $2 x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1})}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.2

اضرب $2$ في $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.3

أعِد كتابة ${(2 x + 3)}^{2}$ بالصيغة $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - ((2 x + 3) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.4

وسّع $(2 x + 3) (2 x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.1.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.1.5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.1.6

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.5.2

أضف $6 x$ و $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 12 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2}) - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.7.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.7.2

اضرب $12$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.1.7.3

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.2

اطرح $4 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 6 x + 30 - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.3

اطرح $12 x$ من $6 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 30 - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.4

اطرح $9$ من $30$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 6 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{2}) - (6 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.6

أعِد كتابة $21$ بالصيغة $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.8

أعِد كتابة $- (2 x^{2} + 6 x - 21)$ بالصيغة $- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 6 x - 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$