حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{e}{π})}^{n}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(\frac{e}{π})}^{n + 1}}{{(\frac{e}{π})}^{n}}$

خطوة 2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{e}{π})}^{n + 1}$ و ${(\frac{e}{π})}^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{e}{π})}^{n}$ من ${(\frac{e}{π})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{e}{π})}^{n} \frac{e}{π}}{{(\frac{e}{π})}^{n}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{e}{π})}^{n} \frac{e}{π}}{{(\frac{e}{π})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{e}{π})}^{n} \frac{e}{π}}{{(\frac{e}{π})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{e}{π}}{1}$

خطوة 2.2.2.4

اقسِم $\frac{e}{π}$ على $1$ .

$r = \frac{e}{π}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ في ${(\frac{e}{π})}^{n}$ .

$a = {(\frac{e}{π})}^{0}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{e}{π}$ .

$a = \frac{e^{0}}{π^{0}}$

خطوة 4.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{π^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.4

اقسِم $1$ على $1$ .

$a = 1$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{1}{1 - \frac{e}{π}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{\frac{π}{π} - \frac{e}{π}}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{π - e}{π}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \frac{π}{π - e}$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{π}{π - e}$ في $1$ .

$\frac{π}{π - e}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{π - e}$

الصيغة العشرية:

$7.42147960 \dots$