حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 + \ln (x^{5})$ ; $x = e$

خطوة 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $e$ عن $x$ .

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 + \ln (e^{5})$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

خطوة 1.2.3

بسّط $2 + \ln ({(e)}^{5})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $5$ خارج الأُس.

$y = 2 + 5 \ln (e)$

خطوة 1.2.3.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y = 2 + 5 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.1.3

اضرب $5$ في $1$ .

$y = 2 + 5$

خطوة 1.2.3.2

أضف $2$ و $5$ .

$y = 7$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = e$ و $y = 7$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \ln (x^{5})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

خطوة 2.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$0 + \frac{5}{x^{5}} x^{4}$

خطوة 2.2.4

اجمع $\frac{5}{x^{5}}$ و $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

خطوة 2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $5 x^{4}$ .

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

خطوة 2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

خطوة 2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{5}{x}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة المشتق في $x = e$ .

$\frac{5}{e}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{5}{e}$ ونقطة مُعطاة $(e, 7)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{5}{e} \cdot (x - (e))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{5}{e} \cdot (x - e)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 7 = \frac{5}{e} x + \frac{5}{e} (- e)$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{5}{e}$ و $x$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (- e)$

خطوة 3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

أخرِج العامل $e$ من $- e$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + 5 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} - 5$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{5 x}{e} - 5 + 7$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 5$ و $7$ .

$y = \frac{5 x}{e} + 2$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{5}{e} x + 2$

خطوة 4