حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sec (\sin^{-1} (u))$

خطوة 1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ و $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\sin^{-1} (u)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . إذن، $\sec (\sin^{-1} (u))$ تساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

خطوة 2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 4.2

ارفع $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 4.3

ارفع $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

خطوة 4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ بالصيغة $(1 + u) (1 - u)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ في صورة ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

خطوة 4.6.5

بسّط.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

خطوة 5

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 6

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 7

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ و $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

خطوة 8

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

خطوة 8.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

خطوة 8.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $(1 + u) (1 - u)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ بالصيغة $(1 + u) (1 - u)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ في صورة ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.1.5

بسّط.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.2

وسّع $(1 + u) (1 - u)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.1.2

اضرب $- u$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.1.3

اضرب $u$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.1.5

اضرب $u$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1.5.1

انقُل $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.1.5.2

اضرب $u$ في $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.2

أضف $- u$ و $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.3.5

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $1 + u$ من ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

خطوة 8.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

خطوة 8.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.5

احذِف العامل المشترك لـ $1 - u$ و ${(1 - u)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

خطوة 8.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

أخرِج العامل $1 - u$ من $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

خطوة 8.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

خطوة 8.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.6

أضف $0$ و $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.8

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.9

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.10.2

ارفع $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.10.3

ارفع $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

خطوة 8.10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.10.5

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

خطوة 8.10.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ بالصيغة $(1 + u) (1 - u)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ في صورة ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.10.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.10.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.10.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.10.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

خطوة 8.10.6.5

بسّط.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

خطوة 9

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

خطوة 10

عوّض بقيمتَي $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ و $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$