حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل إلى $0$ واكتبه في صورة مجموع نهايات.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

خطوة 2.3

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{upper} = e^{- 0}$

خطوة 2.4.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

خطوة 2.4.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2} u_{2}$ في $1$ وفي $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 6

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 6.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 6.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 6.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 6.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{- 0}$

خطوة 6.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 6.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

خطوة 6.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

خطوة 6.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2} u_{2}$ في $e^{- t^{2}}$ وفي $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $e^{- t^{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 9.2.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10

احسِب قيم النهايات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

جمّع الكسور باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10.1.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10.2

جمّع الكسور باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

خطوة 10.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

خطوة 10.2.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

خطوة 10.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

خطوة 10.2.5

أعِد كتابة $- (e^{- t^{2}} - 1)$ بالصيغة $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

خطوة 10.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.3.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.3.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.4

بما أن الأُس $- t^{2}$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t^{2}}$ تقترب من $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 10.5.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

خطوة 10.5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.6

بما أن الأُس $- t^{2}$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t^{2}}$ تقترب من $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.7.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.1.1

اطرح $0$ من $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.7.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

خطوة 10.7.2.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 10.7.2.1.5

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 10.7.2.1.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 10.7.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

خطوة 10.7.2.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{0}{2}$

خطوة 10.7.2.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$0$