حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

خطوة 2

أضف $3$ و $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 3 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

خطوة 7

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

خطوة 9

بسّط.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$