حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\arccos (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \arccos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ ، لذا $1 d u_{2} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \arccos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\arccos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arccos (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arccos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\arccos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

خطوة 1.1.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2} u_{2} d u_{2}$

خطوة 2

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\arccos (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} {\arccos (2 x)}^{2} + C$