حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 4}$ في صورة ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.8.3

انقُل ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.11

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.12.2

اجمع $2$ و $\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.12.3

اجمع $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.16

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.16.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.16.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.16.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 1.18

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.19

لكتابة ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.21

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.21.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.21.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.21.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.21.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{1}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.22

بسّط ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.23

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x^{2} + 4$ و $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.3

بسّط.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

أضف $4 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.6.2

انقُل $4$ إلى يسار ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.10.3

انقُل ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.13

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.14.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.14.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.14.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.14.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.2

اضرب $- 2 x^{2} - 4$ في $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 2)) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.4

لكتابة $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6

أعِد كتابة $\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.6.1

أخرِج العامل $2 x$ من $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.6.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 (- x^{2} - 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.6.2.1

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.6.2.1.1

انقُل ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.2.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.6.2.2

بسّط $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 4 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 8 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.7.3

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 8 - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.2.7.4

اطرح $2$ من $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.3.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.15.3.2

اضرب $\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

خطوة 2.15.3.3

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 4$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.3.3.1

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.3.3.1.1

ارفع $x^{2} + 4$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

خطوة 2.15.3.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 2.15.3.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 2.15.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 2.15.3.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 4

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 5

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6