حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 4$ و $g (x) = x^{2} - 5 x - 36$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2

اضرب $x^{2} - 5 x - 36$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5 x - 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.9

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.11

أضف $2 x - 5$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.2

وسّع $(- x - 4) (2 x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.4

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.5

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.1.6

اضرب $- 4$ في $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.3.2

اطرح $8 x$ من $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x - 36 - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.3

اطرح $3 x$ من $- 5 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 36 + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.4

أضف $- 36$ و $20$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ ومجموعهما $b = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

أخرِج العامل $- 8$ من $- 8 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 8$ في صورة $- 4$ زائد $- 4$

$\frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 4$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

حلّل $x^{2} - 5 x - 36$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 36$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 9, 4$

خطوة 2.1.3.4.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x - 9) (x + 4))}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $(x - 9) (x + 4)$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.2

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (4)) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.4

أعِد كتابة $- (x + 4)$ بالصيغة $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.5

ارفع $x + 4$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} (x + 4))}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.6

ارفع $x + 4$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 4)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.4

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.7.1

اضرب $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ في $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

خطوة 2.2.4.7.2

أضف $2 {(x - 9)}^{- 3}$ و $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

خطوة 2.2.5.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم يمكن أن تجعل المشتق الثاني مساويًا لـ $0$ .

لا توجد نقاط انقلاب