حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

خطوة 1

اكتب $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$24 x - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$24 x - 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$24 x - 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$24 x - 12 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 2.1.3.7

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f' (x) = 24 x - 24 \cos (2 x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 x - 24 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $24$ في $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$24 - 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$24 - 24 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$24 - 24 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$24 - 24 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2.3.7

اضرب $- 2$ في $- 24$ .

$f'' (x) = 24 + 48 \sin (2 x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $24 + 48 \sin (2 x)$ .

$24 + 48 \sin (2 x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $24 + 48 \sin (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$24 + 48 \sin (2 x) = 0$

خطوة 3.2

اطرح $24$ من كلا المتعادلين.

$48 \sin (2 x) = - 24$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $48 \sin (2 x) = - 24$ على $48$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $48 \sin (2 x) = - 24$ على $48$ .

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $\sin (2 x)$ على $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 24}{48}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أخرِج العامل $24$ من $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 (- 1)}{48}$

خطوة 3.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $24$ من $48$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

خطوة 3.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

خطوة 3.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

خطوة 3.6

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

خطوة 3.6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

خطوة 3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.6.3.2

اضرب $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.6.3.2.2

اضرب $2$ في $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

خطوة 3.7

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 3.8

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 3.8.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 3.8.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

خطوة 3.8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

خطوة 3.8.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

خطوة 3.8.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.8.3.3.2

اضرب $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.3.2.1

اضرب $\frac{7 π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

خطوة 3.8.3.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

خطوة 3.9

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.9.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.9.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.10

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{12}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{12} + π$

خطوة 3.10.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

خطوة 3.10.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

اجمع $π$ و $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

خطوة 3.10.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

خطوة 3.10.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.4.1

انقُل $12$ إلى يسار $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

خطوة 3.10.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

خطوة 3.10.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{12}$

خطوة 3.11

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{7 π}{12}$ في $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $12$ من $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 4.1.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

خطوة 4.1.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

خطوة 4.1.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{7 π}{6})$

خطوة 4.1.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.1.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.1.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 4.1.2.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

خطوة 4.1.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

خطوة 4.1.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

خطوة 4.1.2.1.9

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 6$

خطوة 4.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{49 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{49 π^{2}}{12} + 6$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{7 π}{12}$ في $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ هي $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $\frac{11 π}{12}$ في $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $12$ من $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

خطوة 4.3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

خطوة 4.3.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

خطوة 4.3.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{11 π}{6})$

خطوة 4.3.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.3.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.3.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 4.3.2.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

خطوة 4.3.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

خطوة 4.3.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

خطوة 4.3.2.1.9

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 6$

خطوة 4.3.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{121 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{121 π^{2}}{12} + 6$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{11 π}{12}$ في $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ هي $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.73259571$ في العبارة.

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (2 (1.73259571))$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (3.46519142)$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $24 + 48 \sin (3.46519142)$ .

$24 + 48 \sin (3.46519142)$

خطوة 6.3

في $1.73259571$ ، المشتق الثاني هو $8.73693112$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.35619449$ في العبارة.

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (2 (2.35619449))$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (4.71238898)$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $24 + 48 \sin (4.71238898)$ .

$24 + 48 \sin (4.71238898)$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $2.35619449$ يساوي $- 24$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$

تناقص خلال $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.97979326$ في العبارة.

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (2 (2.97979326))$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $2$ في $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (5.95958653)$

خطوة 8.2.2

الإجابة النهائية هي $24 + 48 \sin (5.95958653)$ .

$24 + 48 \sin (5.95958653)$

خطوة 8.3

في $2.97979326$ ، المشتق الثاني هو $8.73693112$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

خطوة 10