حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$

خطوة 1

اكتب ${(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{7}}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.5.2

اطرح $7$ من $2$ .

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{- 5}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{- \frac{5}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.6.2

اجمع $\frac{2}{7}$ و ${(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.6.3

انقُل ${(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.1.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} (1 + 0)$

خطوة 2.1.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} \cdot 1$

خطوة 2.1.10.2

اضرب $\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بما أن $\frac{2}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}]$ .

$\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}]$

خطوة 2.2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$ بالصيغة ${({(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{- 1}]$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{5}{7} \cdot - 1}]$

خطوة 2.2.1.2.2.2

اضرب $\frac{5}{7} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{5}{7}$ و $- 1$ .

$\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{5 \cdot - 1}{7}}]$

خطوة 2.2.1.2.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{- 5}{7}}]$

خطوة 2.2.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{7} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{5}{7}}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$\frac{2}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{5}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} u^{- \frac{5}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{- \frac{5}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{- \frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{- \frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{\frac{- 5 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.6.2

اطرح $7$ من $- 5$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{\frac{- 12}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7} {(x + 4)}^{- \frac{12}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.7.2

اجمع ${(x + 4)}^{- \frac{12}{7}}$ و $\frac{5}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{12}{7}} \cdot 5}{7} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.3.1

انقُل $5$ إلى يسار ${(x + 4)}^{- \frac{12}{7}}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5 \cdot {(x + 4)}^{- \frac{12}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.7.3.2

انقُل ${(x + 4)}^{- \frac{12}{7}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{5}{7 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

خطوة 2.2.7.4

اضرب $\frac{2}{7}$ في $\frac{5}{7 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}}$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}})} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.2.7.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.5.1

اضرب $2$ في $5$ .

$- \frac{10}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}})} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.2.7.5.2

اضرب $7$ في $7$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} (1 + 0)$

خطوة 2.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} \cdot 1$

خطوة 2.2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}}$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{10}{49 {(x + 4)}^{\frac{12}{7}}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$10 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $10 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم يمكن أن تجعل المشتق الثاني مساويًا لـ $0$ .

لا توجد نقاط انقلاب