حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 29$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

خطوة 2.1.2.6

بما أن $29$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $29$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

خطوة 2.1.2.7

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $2 x - 4$ في $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

خطوة 2.1.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

خطوة 2.1.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

خطوة 2.1.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 2$ و $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.4.2

اضرب $x^{2} - 4 x + 29$ في $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 29$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.10

بما أن $29$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $29$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.11.1

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.11.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.2

اضرب $2$ في $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.4

وسّع $(- x + 2) (2 x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.4

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.1.6

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.5.2

أضف $4 x$ و $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1.7.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.7.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.1.7.3

اضرب $2$ في $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.2

اطرح $4 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.3

أضف $- 8 x$ و $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3.4

اطرح $16$ من $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $42$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.4.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.4.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.2.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $- 3$ زائد $7$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.4.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.4.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.6

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.8

أعِد كتابة $- (x + 3)$ بالصيغة $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.10

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, 7$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 3$ في $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $9$ و $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $21$ و $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 3$ في $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ هي $(- 3, \ln (50))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 3, \ln (50))$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $7$ في $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 4$ في $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

خطوة 4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اطرح $28$ من $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $21$ و $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $7$ في $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ هي $(7, \ln (50))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(7, \ln (50))$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.1$ في العبارة.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 3.1$ و $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

اضرب $2$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2.2

اضرب $- 0.2$ في $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 4$ في $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $9.61$ و $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

أضف $22.01$ و $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

ارفع $51.01$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $2.02$ على $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 3.1$ يساوي $- 0.00077631$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 3)$

تناقص خلال $(- \infty, - 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 7)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $2$ و $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

اطرح $7$ من $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اطرح $8$ من $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

أضف $- 4$ و $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

خطوة 7.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $10$ في $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

خطوة 7.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 50$ و $625$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $25$ من $- 50$ .

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $625$ .

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

خطوة 7.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

خطوة 7.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

خطوة 7.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

خطوة 7.3

في $2$ ، المشتق الثاني هو $0.08$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 3, 7)$ .

تزايد خلال $(- 3, 7)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(7, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7.1$ في العبارة.

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

أضف $7.1$ و $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

اضرب $2$ في $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2.2

اضرب $20.2$ في $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $7.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $- 4$ في $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اطرح $28.4$ من $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

أضف $22.01$ و $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

ارفع $51.01$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اقسِم $2.02$ على $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $7.1$ يساوي $- 0.00077631$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(7, \infty)$

تناقص خلال $(7, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

خطوة 10