حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 8 x - 2 \cos (x)$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 8 x - 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 8 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 8 - 2 (- \sin (x))$

خطوة 1.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (x) = - 8 + 2 \sin (x)$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 8 + 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 1.1.2.1.2

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$0 + 2 \cos (x)$

خطوة 1.1.2.3

أضف $0$ و $2 \cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (x)$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) = 0$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 1.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 1.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 1.2.6.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 1.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (0) = 2$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5