حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $1 + x^{2}$ في $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.8

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.10

أعِد كتابة $- (x^{2} + 2 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.8

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

اضرب $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ في $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

خطوة 2.2.12.2

أضف $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ و $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.1

وسّع $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.4

اضرب $2 x$ في $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.4.1

انقُل $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.5

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.6

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.2

اطرح $4 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.3

اطرح $8 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.4

أضف $2 x$ و $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.3

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.8

أخرِج العامل $- 1$ من $3 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.10

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.12

أعِد كتابة $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.13.15

اضرب $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ على $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

خطوة 3.3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

خطوة 3.3.2.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

خطوة 3.3.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $x$ في $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

خطوة 3.3.2.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

خطوة 3.3.2.5

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

خطوة 3.3.2.5.2

أخرِج العامل $3 x$ من $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

خطوة 3.3.2.5.3

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

خطوة 3.3.2.6

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

خطوة 3.3.2.6.2

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

خطوة 3.3.2.7

أضف $x$ و $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

خطوة 3.3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

خطوة 3.3.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.3.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

عيّن قيمة $x^{2} + 4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

خطوة 3.3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.3.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.1.3

اطرح $4$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

خطوة 3.3.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.3

اطرح $4$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.4.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

خطوة 3.3.5.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

خطوة 3.3.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.1.3

اطرح $4$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.5.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

خطوة 3.3.5.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

خطوة 3.3.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

خطوة 3.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $2$ على $2$ .

$f (1) = 1$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ هي $(1, 1)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, 1)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 2 + \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2 + \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أعِد كتابة ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ بالصيغة $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

خطوة 4.3.2.2.2

وسّع $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

خطوة 4.3.2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

خطوة 4.3.2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.3.1.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.2.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.2.3.1.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.2.2.3.1.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

خطوة 4.3.2.2.3.1.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

خطوة 4.3.2.2.3.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

خطوة 4.3.2.2.3.2

أضف $4$ و $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.2.3.3

اطرح $2 \sqrt{3}$ من $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.2.4

أضف $1$ و $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ في $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

خطوة 4.3.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

اضرب $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ في $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

خطوة 4.3.2.4.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.3.2.4.3

بسّط.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

خطوة 4.3.2.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $8 + 4 \sqrt{3}$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.4.1

أخرِج العامل $4$ من $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

خطوة 4.3.2.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

خطوة 4.3.2.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

خطوة 4.3.2.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.3.2.5

وسّع $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.3.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.3.2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.1.2

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.1.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.1.5

اضرب $3$ في $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.1.6

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

خطوة 4.3.2.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.6.3

أضف $- \sqrt{3}$ و $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2 + \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ هي $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- 2 - \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2 - \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.5.2.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

أعِد كتابة ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ بالصيغة $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.2

وسّع $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.3.1.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.4

اضرب $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.4.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.4.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

خطوة 4.5.2.2.3.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

خطوة 4.5.2.2.3.2

أضف $4$ و $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.2.3.3

أضف $2 \sqrt{3}$ و $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.2.4

أضف $1$ و $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.3

اضرب $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ في $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.1

اضرب $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ في $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

خطوة 4.5.2.4.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.5.2.4.3

بسّط.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

خطوة 4.5.2.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $8 - 4 \sqrt{3}$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.4.1

أخرِج العامل $4$ من $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

خطوة 4.5.2.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

خطوة 4.5.2.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

خطوة 4.5.2.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.5

وسّع $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.2

اضرب $- 1 (- \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.2.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.4

اضرب $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.4.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.4.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

خطوة 4.5.2.6.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

خطوة 4.5.2.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.6.3

اطرح $2 \sqrt{3}$ من $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2 - \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ هي $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.8320508$ في العبارة.

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 3.8320508$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 3.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $3$ في $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 3$ في $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.5

أضف $- 56.2721846$ و $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.6

أضف $- 12.21834443$ و $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.7

اطرح $1$ من $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 3.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $14.68461339$ و $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $15.68461339$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $2$ في $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- 3.44438401$ على $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 3.8320508$ يساوي $- 0.00089266$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.5

أضف $- 8$ و $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.6

أضف $4$ و $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.7

اطرح $1$ من $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $4$ و $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $2$ في $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $18$ على $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $0.144$ .

$0.144$

خطوة 7.3

في $- 2$ ، المشتق الثاني هو $0.144$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.3660254$ في العبارة.

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.3660254$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $0.3660254$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $3$ في $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 3$ في $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.5

أضف $0.0490381$ و $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.6

اطرح $1.09807621$ من $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.7

اطرح $1$ من $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $0.3660254$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $0.13397459$ و $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $1.13397459$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $2$ في $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $- 3.29422863$ على $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $0.3660254$ يساوي $- 2.2591432$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

تناقص خلال $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.2

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.3

اضرب $3$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $- 3$ في $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.5

أضف $1.331$ و $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.6

اطرح $3.3$ من $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.7

اطرح $1$ من $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $1.21$ و $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $2.21$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اضرب $2$ في $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

خطوة 9.2.3.2

اقسِم $1.322$ على $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $0.12247702$ .

$0.12247702$

خطوة 9.3

في $1.1$ ، المشتق الثاني هو $0.12247702$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

خطوة 11