حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ هو $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ حيث $f (v) = 2 - v^{2}$ و $g (v) = 2 + v^{2}$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - v^{2}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $- v^{2}$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $2 v$ من $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + v^{2}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + 2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 4.5

أضف $0$ و $2 v$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 1 \cdot 2 - - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $v^{2}$ في $v$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.1

انقُل $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3.2

اضرب $v$ في $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.2.1

ارفع $v$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6

اضرب $v^{2}$ في $v$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1

انقُل $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v \cdot v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6.2

اضرب $v$ في $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.2.1

ارفع $v$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v^{1} v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.7

اضرب $- - v^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 1 v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.7.2

اضرب $v^{3}$ في $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.8

انقُل $2$ إلى يسار $v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أضف $- 2 v^{3}$ و $2 v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2

أضف $- 4 v - 4 v$ و $0$ .

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.3

اطرح $4 v$ من $- 4 v$ .

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

خطوة 5.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$