حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{2} x)$ , $(2, \frac{π}{12})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{π}{12}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{2} x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

خطوة 1.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.3.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ .

$\frac{1}{2 (3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

خطوة 1.3.6

اضرب $\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ في $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 1.4.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 1.4.3.3

اجمع $6$ و $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{4}}$

خطوة 1.4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{4}}$

خطوة 1.4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2)}}$

خطوة 1.4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{2} + 6}$

خطوة 1.4.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x^{2}}{2} + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 6}$

خطوة 1.4.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2}$

خطوة 1.4.5.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2)}$

خطوة 1.4.5.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}$

خطوة 1.4.5.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}$

خطوة 1.4.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.4.5.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4}{2}}$

خطوة 1.4.6

اجمع $3$ و $\frac{x^{2} + 4}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 4)}{2}}$

خطوة 1.4.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

خطوة 1.4.8

اضرب $\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$ في $1$ .

$\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{2}{3 ({(2)}^{2} + 4)}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2}{3 (4 + 4)}$

خطوة 1.6.1.2

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8}$

خطوة 1.6.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{2}{24}$

خطوة 1.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

خطوة 1.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

خطوة 1.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

خطوة 1.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{12}$ ونقطة مُعطاة $(2, \frac{π}{12})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{12} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{12} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{12}$ و $x$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{6}$ و $- 1$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 1}{6}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} - \frac{1}{6}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{π}{12}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لكتابة $- \frac{1}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

خطوة 2.3.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

خطوة 2.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 2 + π}{12}$

خطوة 2.3.3.4

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

خطوة 2.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $π$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

خطوة 2.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

خطوة 2.3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2 - π}{12}$

خطوة 2.3.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{12} x - \frac{2 - π}{12}$

خطوة 3