حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\log_{5} (1 + x^{2})$

خطوة 1

اكتب $\log_{5} (1 + x^{2})$ في صورة دالة.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{5} (x)$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\log_{5} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

خطوة 2.1.2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

خطوة 2.1.2.5.2

اجمع $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $\ln (5)$ في $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

خطوة 2.1.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x = 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\ln (5)$ في $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 6.2.2.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $5$ في $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة $\ln (25)$ بالصيغة $\ln (5^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

خطوة 6.2.4

وسّع $\ln (5^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

خطوة 6.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

خطوة 6.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \ln (5)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

خطوة 6.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

خطوة 6.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

خطوة 6.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

خطوة 6.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{1}{\ln (5)}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\ln (5)$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

خطوة 7.2.2.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

خطوة 7.2.2.4

اضرب $5$ في $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

خطوة 7.2.3

أعِد كتابة $\ln (25)$ بالصيغة $\ln (5^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

خطوة 7.2.4

وسّع $\ln (5^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

خطوة 7.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

خطوة 7.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{1}{\ln (5)}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0)$

خطوة 9