حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$ في صورة ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 6 + \sec (π x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 + \sec (π x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 + \sec (π x^{2})$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + \sec (π x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

خطوة 7.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = π x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $π x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

خطوة 8.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $π x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (π x^{2}) \tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\sec (π x^{2})$ و $\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

خطوة 9.2

اجمع $\tan (π x^{2})$ و $\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [π x^{2}]$

خطوة 9.3

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (π \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 9.4

اجمع $π$ و $\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{π (\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 9.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 9.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اجمع $2$ و $\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 9.6.2

اجمع $\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد ترتيب العوامل في $π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x$ .

$\frac{π x \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{π x \sec (π x^{2}) \tan (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$