حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = t^{4} {(t^{5} - 9)}^{5}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = {(t^{5} - 9)}^{5}$ .

$t^{4} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 9)}^{5}] + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{5}$ و $g (t) = t^{5} - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{5} - 9$ .

$t^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 9]) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$t^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d t} [t^{5} - 9]) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{5} - 9$ .

$t^{4} (5 {(t^{5} - 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{5} - 9]) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{5} - 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$t^{4} (5 {(t^{5} - 9)}^{4} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$t^{4} (5 {(t^{5} - 9)}^{4} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 3.3

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$t^{4} (5 {(t^{5} - 9)}^{4} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $5 t^{4}$ و $0$ .

$t^{4} (5 {(t^{5} - 9)}^{4} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 3.4.2

اضرب $5$ في $5$ .

$t^{4} (25 {(t^{5} - 9)}^{4} t^{4}) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 4

اضرب $t^{4}$ في $t^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $t^{4}$ .

$t^{4} t^{4} (25 {(t^{5} - 9)}^{4}) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$t^{4 + 4} (25 {(t^{5} - 9)}^{4}) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 4.3

أضف $4$ و $4$ .

$t^{8} (25 {(t^{5} - 9)}^{4}) + {(t^{5} - 9)}^{5} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$t^{8} (25 {(t^{5} - 9)}^{4}) + {(t^{5} - 9)}^{5} (4 t^{3})$

خطوة 6

انقُل $4$ إلى يسار ${(t^{5} - 9)}^{5}$ .

$t^{8} (25 {(t^{5} - 9)}^{4}) + 4 \cdot {(t^{5} - 9)}^{5} t^{3}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4}$ من $t^{8} (25 {(t^{5} - 9)}^{4}) + 4 {(t^{5} - 9)}^{5} t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4}$ من $t^{8} (25 {(t^{5} - 9)}^{4})$ .

$t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (t^{5} \cdot (25)) + 4 {(t^{5} - 9)}^{5} t^{3}$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4}$ من $4 {(t^{5} - 9)}^{5} t^{3}$ .

$t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (t^{5} \cdot (25)) + t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (4 (t^{5} - 9))$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4}$ من $t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (t^{5} \cdot (25)) + t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (4 (t^{5} - 9))$ .

$t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (t^{5} \cdot (25) + 4 (t^{5} - 9))$

خطوة 7.2

انقُل $25$ إلى يسار $t^{5}$ .

$t^{3} {(t^{5} - 9)}^{4} (25 t^{5} + 4 (t^{5} - 9))$