حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (| 1 + t - t^{3} |)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = | 1 + t - t^{3} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $| 1 + t - t^{3} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $| 1 + t - t^{3} |$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = | t |$ و $g (t) = 1 + t - t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

خطوة 2.2

مشتق $| u_{2} |$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t - t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}]))$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - (3 t^{2})))$

خطوة 3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2}))$

خطوة 3.7.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} ((1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |})$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |}$ في $\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |}$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} | | 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 4.1.2

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| (1 + t - t^{3}) (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 4.1.3

ارفع $1 + t - t^{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 4.1.4

ارفع $1 + t - t^{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} {(1 + t - t^{3})}^{1} |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 4.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 4.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$(1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |}$