حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \sin^{3} (x)$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا المشتق باستخدام قاعدة السلسلة. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin^{2} (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.4

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $\sin (x)$ .

$3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.4.2

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $\sin^{3} (x)$ .

$3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $- 1 \sin^{3} (x)$ بالصيغة $- \sin^{3} (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 3.7

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3.8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

خطوة 3.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x))$

خطوة 3.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x))$

خطوة 3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

خطوة 3.12

أضف $1$ و $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

خطوة 3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

خطوة 3.13.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

خطوة 3.13.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.13.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos^{2} (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.6

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.6.2

أضف $2$ و $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.8

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.2.11

أضف $1$ و $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \sin^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

خطوة 4.3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \cos (x))$

خطوة 4.3.4

اضرب $3$ في $- 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos^{3} (x) + 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 4.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اضرب $- 2$ في $6$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 4.4.2.2

أعِد ترتيب عوامل $- 12 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 4.4.2.3

اطرح $9 \sin^{2} (x) \cos (x)$ من $- 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 21 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 4.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = - 21 \sin^{2} (x) \cos (x) + 6 \cos^{3} (x)$