حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 29 - 11 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$1 - x^{2} = 29 - 11 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 - x^{2} = 29 - 11 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $11 x$ إلى كلا المتعادلين.

$1 - x^{2} + 11 x = 29$

خطوة 1.2.2

اطرح $29$ من كلا المتعادلين.

$1 - x^{2} + 11 x - 29 = 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $29$ من $1$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} + 11 x - 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

خطوة 1.2.4.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

خطوة 1.2.4.1.3

أعِد كتابة $- 28$ بالصيغة $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

خطوة 1.2.4.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

خطوة 1.2.4.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

خطوة 1.2.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

حلّل $x^{2} - 11 x + 28$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $28$ ومجموعهما $- 11$ .

$- 7, - 4 + y = 29 - 11 x$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

خطوة 1.2.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0 + y = 29 - 11 x$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.7.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 7) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 7, 4$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $7$ .

$y = 29 - 11 \cdot 7$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $7$ عن $x$ في $y = 29 - 11 \cdot 7$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 29 - 11 \cdot 7$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $29 - 11 \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

اضرب $- 11$ في $7$ .

$y = 29 - 77$

خطوة 1.3.2.2.2

اطرح $77$ من $29$ .

$y = - 48$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = 29 - 11 \cdot 4$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = 29 - 11 \cdot 4$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 29 - 11 \cdot 4$

خطوة 1.4.2.2

بسّط $29 - 11 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اضرب $- 11$ في $4$ .

$y = 29 - 44$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح $44$ من $29$ .

$y = - 15$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(7, - 48)$

$(4, - 15)$

$(7, - 48)$

$(4, - 15)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $1$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 1$

خطوة 3

أعِد ترتيب $29$ و $- 11 x$ .

$y = - 11 x + 29$

خطوة 4

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{4}^{7} - x^{2} + 1 d x - \int_{4}^{7} - 11 x + 29 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $4$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{4}^{7} - x^{2} + 1 - (- 11 x + 29) d x$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 1 - (- 11 x) - 1 \cdot 29$

خطوة 5.2.2

اضرب $- 11$ في $- 1$ .

$- x^{2} + 1 + 11 x - 1 \cdot 29$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $29$ .

$- x^{2} + 1 + 11 x - 29$

$\int_{4}^{7} - x^{2} + 1 + 11 x - 29 d x$

خطوة 5.3

اطرح $29$ من $1$ .

$\int_{4}^{7} - x^{2} + 11 x - 28 d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{4}^{7} - x^{2} d x + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{4}^{7} x^{2} d x + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.8

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $11$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 \int_{4}^{7} x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 (\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} - 28 d x$

خطوة 5.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{4}^{7}) + - 28 x]_{4}^{7}$

خطوة 5.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $7$ وفي $4$ .

$- ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{4}^{7}) + - 28 x]_{4}^{7}$

خطوة 5.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $7$ وفي $4$ .

$- (\frac{7^{3}}{3} - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + - 28 x]_{4}^{7}$

خطوة 5.12.3

احسِب قيمة $- 28 x$ في $7$ وفي $4$ .

$- (\frac{7^{3}}{3} - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.1

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{64}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{343 - 64}{3} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.4

اطرح $64$ من $343$ .

$- \frac{279}{3} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.5

احذِف العامل المشترك لـ $279$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.5.1

أخرِج العامل $3$ من $279$ .

$- \frac{3 \cdot 93}{3} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{3 \cdot 93}{3 (1)} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \cdot 93}{3 \cdot 1} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{93}{1} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.5.2.4

اقسِم $93$ على $1$ .

$- 1 \cdot 93 + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.6

اضرب $- 1$ في $93$ .

$- 93 + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.7

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.8

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.9

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.9.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.9.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.10

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - 8) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.11

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.12

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 93 + 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.14.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$- 93 + 11 \frac{49 - 16}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.14.2

اطرح $16$ من $49$ .

$- 93 + 11 (\frac{33}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.15

اجمع $11$ و $\frac{33}{2}$ .

$- 93 + \frac{11 \cdot 33}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.16

اضرب $11$ في $33$ .

$- 93 + \frac{363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.17

لكتابة $- 93$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 93 \cdot \frac{2}{2} + \frac{363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.18

اجمع $- 93$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 93 \cdot 2}{2} + \frac{363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 93 \cdot 2 + 363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.20.1

اضرب $- 93$ في $2$ .

$\frac{- 186 + 363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.20.2

أضف $- 186$ و $363$ .

$\frac{177}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.21

اضرب $- 28$ في $7$ .

$\frac{177}{2} - 196 + 28 \cdot 4$

خطوة 5.12.4.22

اضرب $28$ في $4$ .

$\frac{177}{2} - 196 + 112$

خطوة 5.12.4.23

أضف $- 196$ و $112$ .

$\frac{177}{2} - 84$

خطوة 5.12.4.24

لكتابة $- 84$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{177}{2} - 84 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.12.4.25

اجمع $- 84$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{177}{2} + \frac{- 84 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.12.4.26

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{177 - 84 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.12.4.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.4.27.1

اضرب $- 84$ في $2$ .

$\frac{177 - 168}{2}$

خطوة 5.12.4.27.2

اطرح $168$ من $177$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 6