حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 12 x - 51$ , $y = 3 - x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 12 x - 51 = 3 - x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 12 x - 51 = 3 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 12 x - 51 + x^{2} = 3$

خطوة 1.2.1.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x - 51 = 3$

خطوة 1.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} - 12 x - 51 - 3 = 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $3$ من $- 51$ .

$2 x^{2} - 12 x - 54 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 12 x - 54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 54 = 0$

خطوة 1.2.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 54 = 0$

خطوة 1.2.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 54$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 27 = 0$

خطوة 1.2.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 27 = 0$

خطوة 1.2.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 27$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 27) = 0$

خطوة 1.2.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

حلّل $x^{2} - 6 x - 27$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 27$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 9, 3 + y = 3 - x^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$2 ((x - 9) (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 9) (x + 3) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 3 = 0 + y = 3 - x^{2}$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 9) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 9, - 3$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $9$ .

$y = 3 - {(9)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $9$ عن $x$ في $y = 3 - {(9)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 3 - 9^{2}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $3 - 9^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$y = 3 - 1 \cdot 81$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $81$ .

$y = 3 - 81$

خطوة 1.3.2.2.2

اطرح $81$ من $3$ .

$y = - 78$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

$y = 3 - {(- 3)}^{2}$

خطوة 1.4.2

بسّط $3 - {(- 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$y = 3 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$y = 3 - 9$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $9$ من $3$ .

$y = - 6$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(9, - 78)$

$(- 3, - 6)$

$(9, - 78)$

$(- 3, - 6)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $3$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 3}^{9} - x^{2} + 3 d x - \int_{- 3}^{9} x^{2} - 12 x - 51 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 3}^{9} - x^{2} + 3 - (x^{2} - 12 x - 51) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 3 - x^{2} - (- 12 x) - - 51$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $- 12$ في $- 1$ .

$- x^{2} + 3 - x^{2} + 12 x - - 51$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $- 1$ في $- 51$ .

$- x^{2} + 3 - x^{2} + 12 x + 51$

$\int_{- 3}^{9} - x^{2} + 3 - x^{2} + 12 x + 51 d x$

خطوة 4.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 3 + 12 x + 51$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $51$ .

$- 2 x^{2} + 12 x + 54$

$\int_{- 3}^{9} - 2 x^{2} + 12 x + 54 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{9} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{- 3}^{9} x^{2} d x + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.8

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 \int_{- 3}^{9} x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

خطوة 4.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{9}) + 54 x]_{- 3}^{9}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $9$ وفي $- 3$ .

$- 2 ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{9}) + 54 x]_{- 3}^{9}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $9$ وفي $- 3$ .

$- 2 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 54 x]_{- 3}^{9}$

خطوة 4.12.3

احسِب قيمة $54 x$ في $9$ وفي $- 3$ .

$- 2 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (\frac{729}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $729$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{243}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.2.2.4

اقسِم $243$ على $1$ .

$- 2 (243 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (243 - \frac{- 27}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$- 2 (243 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 2 (243 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (243 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (243 - \frac{- 9}{1}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.4.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$- 2 (243 - - 9) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.5

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$- 2 (243 + 9) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.6

أضف $243$ و $9$ .

$- 2 \cdot 252 + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.7

اضرب $- 2$ في $252$ .

$- 504 + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.8

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$- 504 + 12 (\frac{81}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.9

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$- 504 + 12 (\frac{81}{2} - \frac{9}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 504 + 12 \frac{81 - 9}{2} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.11

اطرح $9$ من $81$ .

$- 504 + 12 (\frac{72}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.12

احذِف العامل المشترك لـ $72$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.12.1

أخرِج العامل $2$ من $72$ .

$- 504 + 12 \frac{2 \cdot 36}{2} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 504 + 12 \frac{2 \cdot 36}{2 (1)} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 504 + 12 \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 504 + 12 (\frac{36}{1}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.12.2.4

اقسِم $36$ على $1$ .

$- 504 + 12 \cdot 36 + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.13

اضرب $12$ في $36$ .

$- 504 + 432 + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.14

أضف $- 504$ و $432$ .

$- 72 + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.15

اضرب $54$ في $9$ .

$- 72 + 486 - 54 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.16

اضرب $- 54$ في $- 3$ .

$- 72 + 486 + 162$

خطوة 4.12.4.17

أضف $486$ و $162$ .

$- 72 + 648$

خطوة 4.12.4.18

أضف $- 72$ و $648$ .

$576$

خطوة 5