حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{5} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.2.4

اجمع $\frac{5}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.2.5.2

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $\frac{7}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{7}{2} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.3

اجمع $4$ و $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.4

اضرب $4$ في $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.5

اجمع $\frac{28}{2}$ و $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $28$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.3.6.2.4

اقسِم $14 x^{3}$ على $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

بما أن $\frac{71}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{71}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.3

اجمع $3$ و $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.4

اضرب $3$ في $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.5

اجمع $\frac{213}{3}$ و $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $213$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.6.1

أخرِج العامل $3$ من $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.4.6.2.4

اقسِم $71 x^{2}$ على $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

بما أن $77$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $77 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.5.3

اضرب $2$ في $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

خطوة 2.1.1.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.6.1

بما أن $120$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $120 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.1.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

خطوة 2.1.1.6.3

اضرب $120$ في $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $14 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $3$ في $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $71$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $71 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.3.3

اضرب $2$ في $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

بما أن $154$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $154 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.4.3

اضرب $154$ في $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

خطوة 2.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

بما أن $120$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $120$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

خطوة 2.1.2.5.2

أضف $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $142 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

خطوة 2.2.2.1.4

أخرِج العامل $2$ من $154$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

خطوة 2.2.2.1.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

خطوة 2.2.2.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

خطوة 2.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

حلّل $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2.2.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

خطوة 2.2.2.2.1.3

عوّض بـ $- 3.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 3.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.3.1

عوّض بـ $- 3.5$ في متعدد الحدود.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.2

ارفع $- 3.5$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.4

ارفع $- 3.5$ إلى القوة $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.5

اضرب $21$ في $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.6

أضف $- 85.75$ و $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.7

اضرب $71$ في $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.8

اطرح $248.5$ من $171.5$ .

$- 77 + 77$

خطوة 2.2.2.2.1.3.9

أضف $- 77$ و $77$ .

$0$

خطوة 2.2.2.2.1.4

بما أن $- 3.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x + 7$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

خطوة 2.2.2.2.1.5

اقسِم $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ على $2 x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

خطوة 2.2.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

خطوة 2.2.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

خطوة 2.2.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

خطوة 2.2.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

خطوة 2.2.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

خطوة 2.2.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $14 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

خطوة 2.2.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

خطوة 2.2.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $14 x^{2} + 49 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

خطوة 2.2.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

خطوة 2.2.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

خطوة 2.2.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $22 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

خطوة 2.2.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

خطوة 2.2.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $22 x + 77$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

خطوة 2.2.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

خطوة 2.2.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 7 x + 11$

خطوة 2.2.2.2.1.6

اكتب $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ في صورة مجموعة من العوامل.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

خطوة 2.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $2 x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $2 x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 7 = 0$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 7$

خطوة 2.2.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 7$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 7$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

خطوة 2.2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

خطوة 2.2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

خطوة 2.2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7}{2}$

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 7 x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} + 7 x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 7$ و $c = 11$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.3.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.3.1.3

اطرح $44$ من $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.4.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.4.1.3

اطرح $44$ من $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.4.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

خطوة 2.2.5.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

خطوة 2.2.5.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.5.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.5.1.3

اطرح $44$ من $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.5.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

خطوة 2.2.5.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

خطوة 2.2.5.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 343$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $42$ في $49$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $142$ في $- 7$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 1372$ و $2058$ .

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $994$ من $686$ .

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

خطوة 5.2.2.3

أضف $- 308$ و $154$ .

$f'' (- 7) = - 154$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 154$ .

$- 154$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ لأن $f'' (- 7)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $42$ في $16$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $142$ في $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 256$ و $672$ .

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $568$ من $416$ .

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

خطوة 6.2.2.3

أضف $- 152$ و $154$ .

$f'' (- 4) = 2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ لأن $f'' (- 4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $4$ في $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $42$ في $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $142$ في $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 108$ و $378$ .

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $426$ من $270$ .

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

خطوة 7.2.2.3

أضف $- 156$ و $154$ .

$f'' (- 3) = - 2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ لأن $f'' (- 3)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

خطوة 8.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $42$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $142$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

خطوة 8.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

خطوة 8.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 + 154$

خطوة 8.2.2.3

أضف $0$ و $154$ .

$f'' (0) = 154$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $154$ .

$154$

خطوة 8.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 10