حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.6

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.10

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

خطوة 2.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

خطوة 2.1.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $2$ في $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.8

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 2$ و $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $2$ من $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, \infty)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6